Matemática - Professor Nivaldo Galvão

As Probabilidades e os Jogos de azar

O amadurecimento das técnicas combinatórias em probabilidades
 
Até então as técnicas de enumeração das possibilidades favoráveis num evento aleatório eram simplórias e restritas a casos numéricos. Para que se pudesse tratar de problemas envolvendo muitas possibilidades ou eventos de natureza genérica, precisava-se técnicas mais apuradas do que as que empregaram Cardano e Tartaglia. A principal deficiência técnica desses italianos era a precariedade de sua notação, a qual não tinha como tratar de casos genéricos. Essa capacidade só foi atingida com o Cálculo Literal ( Logística Speciosa ) de François Viète c. 1 600 e com a álgebra desenvolvida por Descartes em sua La Géometrie c. 1630. Consequentemente, não deve vir como surpresa que é só na metade do século dos 1600's que aparecem as condições para a abordagem de problemas gerais de probabilidades. Isso coube a dois outros franceses: Fermat e Pascal.
Em 1 654, um famoso jogador profissional, Antoine Gombauld, autodenomidado o Cavaleiro de Méré, escreveu uma carta ao famoso matemático francês Blaise Pascal, propondo-lhe resolver alguns problemas matemáticos que tinha encontrado em suas lides com jogos de azar.
Entre os problemas propostos por de Méré estava o seguinte:

Jogando com um par de dados honestos, quantos lances são necessários para que tenhamos uma chance favorável ( ou seja, de mais de 50% ) de obtermos um duplo-seis, ao menos uma vez?
O interesse de de Méré no problema residia no fato de que sua "solução" para o mesmo não funcionava na prática, produzindo-lhe constantes prejuízos.
Com efeito, ele não conseguia ver o que estava errado em seu raciocínio:

" Quando jogamos apenas um dado, temos chance 1/6 de obter um seis, e como 3 x 1/6 = 50% e 4 x 1/6 = 67%, vemos que precisamos jogá-lo 4 vezes para ter chance maior do que 50% de obtermos, ao menos uma vez, um seis. Ora, quando jogamos um par de dados temos 36 possibilidades, ou seja 6 vezes mais possibilidades de quando jogamos um único dado, consequentemente, precisaremos jogar o par de dados 6 x 4 = 24 vezes para ter chance maior do que 50% de obtermos, ao menos uma vez, um duplo seis".
Pascal percebeu o erro de de Méré e se dispôs a achar a solução correta. Trocando idéias com o grande matemático Fermat, logo se convenceram que a resolução teria de passar pela enumeração combinatorial das possibilidades de ocorrência do duplo-seis. Procurando uma maneira inteligente de fazer essa trabalhosa enumeração, acabaram dando plena maturidade às técnicas introduzidas por Cardano e Tartaglia:

• Fermat redescobriu e aperfeiçou a técnica de Cardano, baseando o cálculo de probabilidades no cálculo combinatório, bem ao estilo que hoje empregamos rotineiramente.

• Pascal seguiu um caminho menos importante, redescobriu e aperfeiçou a técnica de Tartaglia que baseava-se no uso do que hoje, no Brasil e vários outros lugares, chama-se de triângulo aritmético de Pascal ( na Itália, o triângulo aritmético é chamado de triângulo de Tartaglia, mas a verdade é que o triângulo aritmético já era conhecido há séculos pelos indianos, chineses e pelos islamitas )

Dessa maneira, conseguiram mostrar, cada um à sua maneira, que:

• em 24 lances de um par de dados, a probabilidade de ocorrer, ao menos uma vez, um duplo-seis é de 49.1%

( sendo então, ao contrário do que achava de Méré, "desfavorável" ao jogador )

• em 25 lances de um par de dados, a probabilidade de ocorrer, ao menos uma vez, um duplo-seis é de 50.6%

( sendo, agora, "favorável" ao jogador )

Pascal e Fermat são os primeiros a resolverem problemas genéricos, não numéricos. Por exemplo, Pascal resolveu a seguinte versão genérica do Problema dos Pontos de Pacioli:

"jogo terminaria quando um jogador fizesse m+n pontos, mas precisou ser interrompido quando um deles tinha m pontos e o outro tinha n pontos; como dividir os prêmios?"
Contudo, nem Pascal e nem Fermat chegaram a tratar de teoremas de probabilidades.


As Probabilidades Matemáticas no mais famoso jogo de azar do Brasil


A MEGA SENA é o jogo de azar mais famoso do Brasil, na vídeoaula o Prof.Nivaldo Galvão mostra como é mínima a chance de um apostador acertar com um jogo simples as 6 dezenas sorteadas.





Programa da calculadora HP-12C para calcular Taxas Equivalentes em Juros Compostos




Abaixo apresentamos um programa para você colocar na sua HP-12C para calcular a taxa equivalente em qualquer período,isto é,conhecida uma taxa e seu período pode-se calcular sua equivalente num determinado período.
Observação a tecla xy (da programação abaixo) é a que fica ao lado  da tecla CLX.




Os dois primeiros exemplos da videoaula do Prof.Nivaldo Galvão na HP-12C com o uso da programação fica assim:

✔ Transformando taxa mensal em taxa anual:


✔ Transformando taxa anual em taxa mensal:






Aplicações da Função do 1ºgrau


1- Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 300,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês.

a) Expressar a função que representa seu salário mensal (Sm):

b) Calcular o valor do salário do vendedor sabendo que durante um mês ele ganha R$ 10 000,00 em produtos.

2- O preço a pagar por uma corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa y é composta de duas partes: uma parte fixa chamada bandeirada e uma parte variável que depende do número x de quilômetros rodados. Suponha que a bandeirante esteja custando R$ 2,00 e o quilômetro rodado, R$ 0,50.

a) Expresse y em função de x:

b) Quanto se pagará por uma corrida em que o táxi rodou 11Km?

3- Faça no plano cartesiano o esboço do gráfico da função y = 3x – 2:

4- Determine as funções relativa a cada reta no plano cartesiano abaixo:


Operações com radicais e uma aplicação na Geometria Espacial



Exercícios proposto referente a vídeo aula do Prof.Nivaldo Galvão


1)Simplifique os radicais:

√90=

√27 + √243 + 2√3=


2)Calcular a diagonal de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são 4 cm,3 cm e 12 cm.


3)A diagonal de um paralelepípedo retângulo mede 5√2 m. Sabendo que duas de suas arestas medem 3m e 5m,calcule a medida da aresta desconhecida.




Equivalência de Capitais no sistema de capitalização composta

A equivalência de capitais é bastante utilizada na renegociação de dívidas,em particular,na substituição de um conjunto de títulos por outro,equivalente ao primeiro.


  • A importância da data focal


Do ponto de vista teórico,a escolha da data focal é indiferente,mas do ponto de vista prático é mais conveniente escolher uma data focal que facilite o máximo o trabalho do cálculo.

Dependendo da data focal escolhida,um determinado capital poderá ser movimentado para frente ou para trás em relação ao eixo dos tempos.Portanto se quisermos levar o capital para frente,devemos multiplicá-lo pelo fator (1 + i)^n .Se quisermos levar o capital para trás.devemos dividi-lo por (1+ i)^n.


Curiosidades Numéricas-Os três prédios mais altos de São Paulo

Você sabe quais são os 3 edifícios mais altos de São Paulo? 



1º Lugar : Edifício Mirante de São Paulo com 170m de altura,localizado em frente ao viaduto Santa Efigênia desde 1960.
















2ºLugar:Edifício Itália cujo nome oficial é Circolo Italiano com 165m de altura,localizado na Av.Ipiranga desde 1965.



















3ºlugar: Edifício Altino Arantes mais conhecido como Edifício do Banespa inaugurado em 1947 com altura de 161m ,durante mais de 10 anos foi o mais alto de São Paulo até ser superado pelo Mirante.

A Matemática das Bicicletas



Cada pedalada de um ciclista corresponde há uma distância equivalente ao comprimento da circunferência da roda dianteira, o que justifica o fato de os primeiros modelos terem uma enorme roda dianteira. Tal mecanismo, além de exigir muito esforço do ciclista, possuía limitações para o aumento de rendimento, uma vez que o raio da roda dianteira não poderia ser maior que o comprimento da perna do ciclista.O mecanismo de transmissão usado hoje em dia para melhorar o rendimento consiste em um conjunto de duas rodas dentadas ,uma delas fixa, com pinhão livre na roda traseira, que giram sob o comando de uma corrente.As rodas possuem número diferentes de dentes, por exemplo, 14 e 42. Como o pedal está acoplado à roda dentada maior, cada volta do pedal (um giro de 42 dentes) implica três voltas da roda dentada menor já que 3.14=42. Como a roda dentada menor é a responsável por transmitir o movimento ao conjunto, podemos dizer que a bicicleta avaliada avançará uma distância igual a três vezes o comprimento da sua roda traseira para cada pedalada completa.O comprimento da circunferência C de raio r (r é a metade do diâmetro) é calculado pela fórmula C=2. pi . r (para pi o valor aproximado 3,14)e sabendo que as rodas de uma bicicleta comum têm aproximadamente 70cm ou 0,70m de diâmetro, cada pedalada implica um deslocamento de 3 vezes o comprimento da circunferência da roda,ou seja,3 . 2 . 3,14 . 0,35=6,59m. Lembrando meus queridos que r é a metade do diâmetro da roda,como a roda tem aproximadamente 0,70m,logo metade é 0,35.
Um abraço meus queridos!!!


Prof.Nivaldo Galvão