Máximo Divisor Comum(M.D.C)

O Que é o Maior Divisor Comum (MDC)?

O Maior Divisor Comum, também conhecido como MDC, de dois ou mais números inteiros é o maior número que divide todos eles sem deixar resto. Em outras palavras, é o maior "fator" que esses números têm em comum.

Para entender melhor, vamos pensar nos divisores do número 12 e do número 18:

• Divisores de 12:  1, 2, 3, 4, 6, 12

• Divisores de 18:  1, 2, 3, 6, 9, 18

Os divisores comuns de 12 e 18 são 1, 2, 3 e 6. O maior entre eles é o 6. Portanto, o MDC de 12 e 18 é 6.

Existem diferentes maneiras de encontrar o Maior Divisor Comum. Vamos explorar os três métodos mais utilizados, do mais simples ao mais eficiente.

Este é o método que usamos no exemplo anterior. Ele consiste em listar todos os divisores de cada número e, em seguida, identificar o maior que aparece em todas as listas.

Exemplo 1: Calcule o MDC de 20 e 30.

• Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20

• Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

O maior divisor comum é 10.

Prós: Fácil de entender para números pequenos. Contras: Torna-se trabalhoso e demorado para números grandes.

Exemplo 2: Simplificação de Frações

Para simplificar a fração 48/60, podemos dividir o numerador e o denominador pelo MDC entre eles, que já calculamos ser 12.

• 48 ÷ 12 = 4

• 60 ÷ 12 = 5

A fração simplificada é 4/5.

 CÁLCULO DO M.D.C. POR DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

• CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

Regra prática:

1º) dividimos o número maior pelo número menor;

48 / 30 = 1 (com resto 18)

2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;

30 / 18 = 1 (com resto 12)

18 / 12 = 1 (com resto 6)

12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

• NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo

divisor comum é 1.

Exemplos:

Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.

Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

• PROPRIEDADE DO M.D.C.

Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:

6 = 2 x 3

18 = 2 x 3 x 2

30 = 2 x 3 x 5

Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então

ele é o m.d.c. dos números dados.

Exercício 1)

a) Qual o MDC de 12 e 18?
b) Calcule o MDC de 24 e 36.
c) Encontre o MDC de 15 e 25.
d) Determine o MDC de 48 e 60.
e) Qual o MDC de 16, 24 e 32?
f) Calcule o MDC de 21, 35 e 49.
g) Encontre o MDC de 30, 45 e 60.
h) Determine o MDC de 14, 28 e 42.
i) Qual o MDC de 18, 36 e 54?
j) Calcule o MDC de 20, 30 e 50.

Exercício 2)

Calculadora de MDC

Calculadora de MDC de Dois ou Mais Números