Potências de base 10

 Potenciação de base 10 com expoente positivo

No primeiro momento vamos relembrar as partes que formam a quinta operação matemática chamada de Potenciação.

Determinando a potência de base 10 com expoente positivo

Devemos colocar o número 1 e acrescentar zeros de acordo com o expoente da base 10.Veja os exemplos abaixo:

Exercício 1- Que expoente tornará esta equação verdadeira?

Resposta :    ? = 

Exercício 2

Exercício 3

Represente as multiplicaçôes em forma de potência de 10 (conforme o item a )

a) 10X10X10 = 10³

b) 10X10X10X10X10 =

c) 10X10 =

d) 10X10X10X10X10X10X10 =

Soma dos ângulos internos de um Triângulo Isósceles

Triângulo Isósceles

Triângulo isósceles possui dois lados com medidas iguais e uma diferente, denominado de base. A figura abaixo possui lados ABC, sendo que AB e AC têm medidas iguais e o lado BC corresponde a base do triângulo.

Observação importante:

No triângulo Isósceles os ângulos da base são congruentes,ou seja,tem a mesma medida.

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º, vamos aprender agora a determinar um ângulo desconhecido de um triângulo isósceles.

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Calcule o valor de x nos triângulos abaixo:

a) 

 

b)  

c) 

d) 

 Problemas de Adição e Subtração de Frações

Escala Cartográfica

 Quais os tipos de Escalas?

-Escala Cartográfica

Escala cartográfica é a proporção de redução da área da paisagem real para sua representação no mapa.

A escala nos ajuda a compreender os mapas e entender as medidas entre os territórios representados.

Existem dois tipos de escalas cartográficas: numérica e gráfica.

Escala numérica

A escala numérica é a representação das proporções entre a paisagem real e o mapa através de números.

✅Exemplo: 1:50 000 (lê-se, um por cinquenta mil)

Sempre quando a escala começa por 1,trata-se de uma escala de redução, no exemplo significa que a distância do mapa foi reduzida 50 000 vezes em relação à distância  real.

Temos também a escala de ampliação, por exemplo:

✅5:1( lê-se , cinco por 1)

Significa que o objeto ou desenho foi aumentado 5 vezes em relação ao tamanho real, esse tipo de escala é muito usada em desenhos técnicos.

E também a escala natural ,por exemplo:

✅1:1 (lê-se , um por um )

Significa que o objeto ou desenho tem a mesma medida da real, também muito usada em desenhos técnicos.

Definição de Escala

Escala é a razão da medida do desenho pela medida real, matematicamente temos:

Como calcular a escala numérica?

Na aula abaixo o Prof.NG mostra como calcular a escala numérica utilizada em um mapa.

Também podemos determinar a medida real de um veículo, tendo a escala utilizada na construção da miniatura.

Veja:

Lista de exercícios de Escala 

Comparação de Frações

 Como comparar frações

Para começar nosso estudo de comparação de frações,copie e preencha a tabela abaixo:

Veja como fica a resposta da primeira linha da tabela:

• Número de partes em que o retângulo se encontra dividido: 2
• Cada parte é que fração do retângulo? 
  
  

Podemos notar que todas as frações acima tem o mesmo numerador,para fazer a comparação devemos observar o denominador da fração.

⚠️1º caso:

Quando os numeradores são iguais,a menor fração será a 

de maior denominador.

Exercício 1) Coloque em ordem crescente as frações da tabela:

Exercício 2) Qual fração da tabela é a maior? E a menor?

Exercício 3) Qual a fração é menor 3/5 ou 3/17 ?

E quando os denominadores são iguais?

⚠️2º caso:

Quando os denominadores são iguais,a maior fração será a 

de maior  numerador.

Exemplo:

a) Qual a maior 7/15 ou 4/15 ?

Como os denominadores são iguais,temos que analisar os numeradores,a primeira é a maior,pois 7 é maior que 4,logo temos:

7/15 > 4/15

➡️E quando não temos nenhum dos casos acima?Por exemplo:

Qual é a maior 3/5 ou 4/7 ?

Nesse caso é só fazer a multiplicação em forma de x . Veja:

Como 21 é maior que 20,logo a fração 3/5 é maior que 4/7.

Matematicamente temos:

3/5 > 4/7

Exemplo 1) Deise e Beto estão andando de bicicleta em uma ciclovia da cidade.Deise já percorreu 2/3 do trajeto e Beto,7/9 .Quem percorreu o maior trajeto da ciclovia?

Exemplo 2) Complete com > , < ou  =  os espaços entre as frações:

a) 4/9____5/6

b) 7/8____3/11

c) 5/6_____15/18

Exercício 1) Seu Amadeu era um grande colecionador de carros antigos. Homem muito rico deixou 35 carros de herança para serem divididos entre os seus três filhos. De acordo com o testamento de seu Amadeu, Moisés, o mais velho receberá 1/2 da herança,Elias,o filho do meio receberá 1/3 e Elizeu, o filho caçula receberá 1/9 dos carros. Qual dos três filhos de Amadeu ficará com a maior parte da herança?

Exercício 2) Juliana e Fábio são feirantes e ambos possuem uma banca de frutas. Observe o diálogo entre eles:

Juliana: - Fábio, hoje eu vendi 5/6 das frutas que trouxe. E você?

Fábio: - Hoje eu vendi 3/4 das frutas que trouxe.

Considerando que Juliana e Fábio levaram a mesma quantidade de frutas para feira, quem vendeu mais?

Exercício 3) O Pedro comeu 3/4 de um bolo e Paulo 2/4 de um bolo igual. Qual dos dois comeu mais bolo? Justifique sua resposta.

Atividades de gráficos de Colunas

 Gráficos de Colunas

São usados retângulos paralelos e verticais. As larguras das colunas são sempre iguais, o comprimento é diretamente proporcional à frequência dos elementos apresentados. As colunas devem ser igualmente espaçadas e todas com a mesma largura.

O gráfico de colunas é ideal para apresentar dados que mudam ao longo de  um período de  tempo mostrando a comparação entre os itens estudados em uma pesquisa.

Veja um exemplo:

Em uma pesquisa feita com 30 alunos a respeito do gênero de filmes com maior preferência, foram coletados e tabulados os seguintes  dados:

   

Observações importantes na construção de um gráfico de colunas:

• Elaborar um título que seja pertinente a pesquisa.
• Nomear o eixo vertical e horizontal de acordo com o cabeçalho da tabela.
• Respeitar o mesmo espaçamento entre as colunas e todas com a mesma largura.
• Colocar os assuntos da pesquisa embaixo da sua respectiva coluna.

Exercício : Uma pesquisa realizada com 600 pessoas sobre qual o meio de transporte que usa para se deslocar até o seu trabalho. Veja os dados:

• Automóvel : 25 pessoas
• Trem : 120 pessoas
• Ônibus : 85 pessoas
• Trem e Metrô : 230 pessoas
• Ônibus e Metrô : 140 pessoas

Pede-se:

a) Faça uma tabela para organizar os dados da pesquisa.

b) Crie um título e elabore um gráfico de colunas com os dados da tabela.

c) Segundo a pesquisa qual o meio de transporte mais usado?

d) Qual o meio de transporte menos usado? Na sua opinião qual o motivo de ser o menos escolhido pelas pessoas pesquisadas?

 

Polígonos Regulares e Irregulares

 Polígonos Regulares

Os polígonos regulares são aqueles em que todos os lados são iguais e todos os ângulos internos têm a mesma medida.

Exemplos:

Exercício 1) A calçada em frente à casa de Ana é formada por um mosaico, onde são utilizadas várias formas geométricas sem sobreposição.

Exercício 2) Que polígono(s) compõe(m) a(s) face(s) de cada sólido abaixo?

Quais sólidos apresentam somente polígonos regulares?

Como calcular o número de diagonais de um Polígono

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Exercício 3) Copie e complete a tabela abaixo:

Polígonos Irregulares

Os polígonos irregulares são aqueles  que os lados e os ângulos têm medidas diferentes.

Polígonos

 

O que são Polígonos?

Elementos de um Polígono

Exercício 1) Pinte somente os que são considerados Polígonos:

Exercício 2) Identifique os elementos do Polígono abaixo:

• Vértices :
• Lados :
• Diagonais :
• Ângulos internos:

Os Polígonos são divididos em dois grupos:

Polígonos Simples

Um polígono é dito simples quando não há intersecção de dois lados não consecutivos.

Exemplos:

Polígonos Complexos

Quando há intersecção (cruzamento) de dois lados.Veja:

Classificação dos polígonos

Polígonos Convexo

Um polígono é convexo quando todos os pontos de um segmento de reta que possui as extremidades no interior do polígono também estão dentro dele.

Veja:

Polígonos Não - Convexo (Côncavo)

Um polígono é não - convexo ou côncavo quando todos os pontos de um segmento de reta que possui as extremidades no interior do polígono em algum momento uma parte deste segmento de reta sai fora do polígono.Veja:

Exercício 3) Todas as figuras abaixo são polígonos convexos? Escreva (S) para “sim” e (N) para

“não”:

Exercício 4) Desenhe em seu caderno separadamente os Polígonos que são Convexos e Não - Convexos:

Conjunto dos Múltiplos de 5

 Quando o número é múltiplo de 5?

Para responder esta pergunta vamos relembrar a tabuada do 5.

Observando com atenção a tabuada do 5 podemos perceber que todos os resultados obtidos o último algarismo é sempre 0 ou 5.Lembrando que o conjunto dos múltiplos de 5 não termina no 50,ele é infinito.

Agora podemos responder a pergunta acima.

Todo número que o último algarismo é zero ou 5 é considerado múltiplo de 5.

Exemplos:

a) 45

b) 130

Veja que os múltiplos de 5 estão na indicação dos minutos (ponteiro grande) nos relógios analógicos:

Múltiplos de 5 no relógio :

{0 ,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55}

Exercício 1) Copie a tabela abaixo e pinte todos os números que são múltiplos de 5:

Exercício 2) Uma concessionária colocou ao longo da rodovia telefones de emergência a cada 5 km.

Se o primeiro telefone foi colocado no km 40 da rodovia,o sexto telefone estará no:

a) km 41.

b) km 42.

c) km 45.

d) km 65.

Os anos bissextos e os Múltiplos de 4

O que é o Ano bissexto? 

Ano bissexto é chamado o ano que tem 366 dias, ou seja, um dia a mais que o normal (365 dias), o dia 29 de fevereiro. O termo bissexto faz referência ao duplo seis na quantidade de dias desses anos (366). Segundo a regra, no ano bissexto é incluído um dia extra no final do mês de fevereiro, que passa a ter 29 dias. 

Os anos bissextos acontecem em intervalos de quatro anos,então para saber se o ano será bissexto,basta verificar se é múltiplo de 4.

Será que o ano de 2024 será bissexto?

Observe que para verificar basta considerar somente os 2 últimos algarismos,se a divisão for exata,podemos afirmar que o ano será bissexto.

Acompanhe:

Conclusão : O ano 2024 será bissexto,pois é múltiplo de 4.

Mas atenção!

Os anos terminados em 00,apesar de serem múltiplos de 4 ,só serão bissextos se for divisível por 400.

Por exemplo o ano do descobrimento do Brasil (1500),apesar de ser múltiplo de 4,ele não foi bissexto,pois 

a divisão de 1500 por 400 não é exata. Veja:

Agora o ano 2000 foi bissexto,pois a divisão por 400 é exata.Veja:

Exercício 1) Pinte na tabela abaixo os anos que foram ou serão bissextos:

Exercício 2) Verifique se cada ano abaixo foi ou não bissexto:

• Independência do Brasil (1822)
• Revolução Constitucionalista (1932)
• Atentado nas Olimpíadas de Munique (1972)
• Massacre do Carandiru (1992)
• Ano da fundação da Cidade de São Paulo (1554)

Conjunto dos Múltiplos de 4

 Como saber se um número é múltiplo de 4?

Um número é múltiplo de 4 quando respeitar as duas condições abaixo:

• Quando o número terminar em 00.
• Quando os 2 últimos algarismos for múltiplo de 4,ou seja,quando dividimos os 2 últimos algarismos e obtemos o resto zero.

Exemplos:

a) 1500 é múltiplo de 4 porque termina em 00.

b) 23 716 é múltiplo de 4 porque os 2 últimos algarismos(no caso 16) é múltiplo de 4.

Veja:

Exercício 1) Pinte somente os números múltiplos de 4:

Exercício 2) Veja abaixo a lista com todos os campeões da Copa do Mundo, de 1930 a 2022:

Verifique qual ano acima é um múltiplo de 4:

Exemplo:

Vamos verificar se o ano 1930 é múltiplo de 4:

Conjunto dos Múltiplos de 2

 Como saber se um número é múltiplo de 2?

Complete a tabuada  abaixo:

2 X 0 = 

2 X 1 =

2 X 2 =

2 X 3 =

2 X 4 =

2 X 5 =

2 X 6 =

2 X 7 =

2 X 8 =

2 X 9 =

2 X 10 =

Os  resultados obtidos acima são  os múltiplos de 2.

Por uma questão de praticidade vamos representar o conjunto dos múltiplos de 2, por M(2) e não devemos esquecer que o conjunto dos múltiplos é infinito (por isso colocamos três pontinhos).

Então o conjunto dos Múltiplos de 2 fica assim representado:

M(2) = {0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,...}

Quando um número é múltiplo de 2 ?

Quando o último algarismo for 0,2,4,6 ou 8,ou seja,quando ele for par.

Exemplos de números múltiplos de 2:

136,38 e 200 

 LISTA DE EXERCÍCIOS DE MÚLTIPLOS DE 2-clique aqui

Conjunto dos Múltiplos de 3

Para estudar os múltiplos de 3 vamos no primeiro momento copiar a tabela abaixo

 

3	X	0	0
3	X	1	3
3	X	2	6
3	X	3	9
3	X	4	12
3	X	5	15
3	X	6	18
3	X	7	21
3	X	8	24
3	X	9	27
3	X	10	30

O resultado obtido são chamados múltiplos de 3,que vamos representar assim M(3).Veja:

M(3)= {0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...}

Lembrando que a tabuada é infinita,logo o conjunto dos múltiplos de um número também é.

Como sabemos se um número é múltiplo de 3 ?

Basta somar todos os algarismos do número,se o resultado estiver na tabuada do 3,podemos afirmar com certeza que o número é múltiplo de 3.

Exemplos:

a) Verificar se o número 177 é múltiplo de 3:

Somando os algarismos temos:

1 + 7 + 7 = 15

Como 15 está na tabuada do 3 , podemos afirmar que 177 também está,logo 177 é múltiplo de 3.

b) O número da casa abaixo é um múltiplo de 3?

Somando os algarismos do número 230,temos:

2 + 3 + 0 = 5,como 5 não é múltiplo de 3,o número 230 também não é.

Exercícios de Múltiplos de 3

Exercício 1) Pinte todos os números que são múltiplos de 3 :

Exercício 2) O número da casa abaixo é um múltiplo de 3 ? Justifique sua resposta:

Exercício 3) Observe as placas abaixo e escreva na sua resposta todos os números que são múltiplos de 3:

Exercício 4) Verifique cada número abaixo e responda se é ou não múltiplo de 3:

Exercício 5) Desenhe e pinte o prédio abaixo e coloque na sua fachada um número que seja múltiplo de 3:

Exercício 6) Desenhe apenas as camisas que a numeração seja múltiplo de 3:

Exercício 7) Escolha e desenhe 5 bolas da urna abaixo que seja múltiplo de 3:

Exercício 8) Observe a numeração dos carrinhos e desenhe os que são múltiplos de 3: