Fração Geratriz de uma Dízima Periódica
Aprenda a transformar qualquer decimal periódico em fração com métodos práticos e sem complicação!
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Você já se perguntou de onde vem um número infinito como 0,333... ou 0,1666...? Na matemática, esses números são chamados de dízimas periódicas e pertencem ao conjunto dos Números Racionais (ℚ).
Isso significa que toda dízima periódica pode ser escrita em forma de fração. Essa fração que dá origem ao número decimal é chamada de Fração Geratriz.
Uma dízima é formada por:
- Parte Inteira: Os dígitos que vêm antes da vírgula. Ex: em 2,3555..., a parte inteira é 2.
- Período: O número ou bloco de números que se repete infinitamente. Ex: em 0,444..., o período é 4.
- Anti-período (ou parte não periódica): Os números entre a vírgula e o período (presente apenas nas dízimas compostas). Ex: em 0,1666..., o anti-período é 1.
1. Tipos de Dízimas Periódicas
Para escolher a melhor estratégia de resolução, primeiro identificamos o tipo de dízima:
A) Dízima Periódica Simples
O período de repetição surge imediatamente após a vírgula.
Exemplos:
- 0,444... (Período: 4)
- 1,333... (Parte inteira: 1 | Período: 3)
- 0,252525... (Período: 25)
B) Dízima Periódica Composta
Existe um ou mais algarismos entre a vírgula e o período repetido (o anti-período).
Exemplos:
- 0,1666... (Anti-período: 1 | Período: 6)
- 2,3555... (Parte inteira: 2 | Anti-período: 3 | Período: 5)
2. Método Prático Rápido (Sem Equações)
Embora possamos resolver equações algébricas, o método prático dos 9s e 0s é a forma mais rápida de acertar em provas e vestibulares!
- Para o Numerador (parte de cima): Subtraia o bloco formado até o primeiro período pela parte não periódica.
- Para o Denominador (parte de baixo):
- Coloque um 9 para cada algarismo do período.
- Coloque um 0 para cada algarismo do anti-período (apenas após a vírgula).
3. Exemplos Práticos Resolvidos Passo a Passo
Exemplo 1: Dízima Simples (0,444...)
Passo 1: O período é o número 4 (tem apenas 1 dígito).
Passo 2: Como o período tem 1 dígito, o denominador será 9.
Passo 3: O numerador é o próprio período 4.
Exemplo 2: Dízima Simples com Parte Inteira (1,333...)
Método Prático:
Número formado até o primeiro período: 13
Parte não periódica (antes do período): 1
Numerador = 13 - 1 = 12
Denominador = 9 (1 dígito no período que é o 3)
Exemplo 3: Dízima Composta (0,1666...)
Análise: Anti-período = 1 (1 dígito) | Período = 6 (1 dígito)
Numerador: (Junta anti-período + período) - (anti-período) → 16 - 1 = 15
Denominador: 9 (pelo período 6) seguido de 0 (pelo anti-período 1) → 90
Exemplo 4: Dízima Composta Completa (2,3555...)
Análise: Inteiro = 2 | Anti-período = 3 | Período = 5
Numerador: Bloco até o 1º período (235) - Parte não periódica (23) = 212
Denominador: Um 9 (período 5) e um 0 (anti-período 3) = 90
4. Exercícios de Fixação Resolvidos
Questão 1: Qual é a fração geratriz da dízima periódica 0,727272...?
Resolução:
1. O período é 72 (possui 2 algarismos).
2. Não há anti-período nem parte inteira diferente de zero.
3. Logo, o denominador terá dois noves (99).
Questão 2: Encontre a fração equivalente a 0,0333...
Resolução:
1. Anti-período = 0 (1 dígito) | Período = 3 (1 dígito).
2. Numerador = 03 - 0 = 3.
3. Denominador = 90 (um 9 pelo período 3, um 0 pelo anti-período 0).
5. Resumo Dicas de Ouro para a Prova
- Sempre simplifique a fração até a forma irredutível, pois as bancas de provas preferem frações simplificadas.
- O número de "noves" depende exclusivamente de quantos dígitos formam o período.
- O número de "zeros" depende do número de dígitos do anti-período (dígitos entre a vírgula e o período).
- Para testar se acertou, basta pegar a calculadora e fazer a divisão do numerador pelo denominador!
