Matemática - Professor Nivaldo Galvão

Sequências Numéricas

 Sequências Numéricas


 Sequência numérica é a ação de dar continuidade a algo que já foi definido previamente, obedecendo uma determinada ordem. Quando estudamos sequências é importante descobrir regularidades, para determinar seus termos faltantes ou futuros. Uma sequência numérica deve ser representada entre parênteses e ordenada.

 Exemplos:  (1, 2, 3, 4, 5, 6, …): sequência dos números naturais;  

(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …): sequência dos números primos positivos

(1, 3, 5, 7, 9, …): sequência dos números ímpares positivos;


•Sequências recursivas 

Quando determinado termo pode ser calculado em função de termos antecessores, ou seja, quando o termo seguinte depende do termo anterior.

Por exemplo, na sequência (2, 4, 6, 8, …) podemos observar que se trata da sequência dos números pares, portanto, devemos somar dois ao termo anterior para encontrar o próximo, nesse caso, o padrão dessa sequência corresponde a sempre adicionar o 2 para escrevê-la.

Nós também podemos realizar uma subtração como padrão(sempre subtrair 5) numa sequência, veja:

  • 20, 15, 10 , 5 ,… (O quinto termo da sequência será o zero)

 Atividade - Observe as sequências abaixo, descubra o padrão e escreva os três próximos termos:

a) 3, 6, 9, 12 … 

Padrão:

Os três próximos termos:

b) 0, 10, 20, 30, 40, …

Padrão:

Os três próximos termos:

c) 18, 15, 12, …

Padrão:

Os três próximos termos:

d) 36, 32, 28, …

Padrão:

Os três próximos termos:


•Sequências não recursivas 

As sequências não recursivas são aquelas que não dependem de termos anteriores para determinarmos o próximo termo, pode-se determinar o valor de um elemento da sequência apenas pela sua posição.
Por exemplo, na sequência (7,14,21,28...) não é necessário saber o último termo para determinar o seguinte. Observando atentamente, essa sequência é formada pelos múltiplos de 7.Já no caso da sequência (2,3,5,7,11...)left parenthesis, 2, comma, 3, comma, 5, comma, 7, comma, 11, point, point, point, right parenthesis olhando atentamente, percebe-se que ela é formada pelos números primos.


Lei de formação de uma sequência numérica

lei de formação é a regra que estabelece a formação dos termos de uma sequência numérica. A partir da lei de formação é possível obter qualquer termo da sequência numérica.
A lei de formação de uma sequência numérica também é conhecida como fórmula do termo geral.
Vamos adotar a letra n para indicar o número da posição do termo na sequência.

Exemplo 1: Qual o termo que vai ocupar a 15ª posição na sequência (2,5,8,11...)?

Exemplo 2: O termo 36 da sequência 2,9,16,23,... é:
a) -15
b) 247
c) 275
d) -36

Exemplo 3: Analise a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...). Sendo n um número natural que indica a posição de cada termo, qual lei de formação que os seus termos obedecem?
a) 2n + 1 
b) 3n  
c) 3n + 1 
d) 3n - 1 

Exemplo 4: Observe as figuras formadas por quadradinhos:






 A 25ª figura terá :

a) 36 quadradinhos
b) 45 quadradinhos
c) 50 quadradinhos
d) 52 quadradinhos


EXERCÍCIOS


2. Observe a sequência formada por palitos de fósforo.





a) Qual a expressão algébrica que relaciona a quantidade de palitos com a quantidade de triângulos?

b) Qual a quantidade de palitos necessária para construir 100 triângulos?

c) E para construir 177 triângulos, quantos palitos são necessários?

3. Observe a sequência formada por bolinhas:






A figura que ocupará a 100ª posição terá quantas bolinhas?

Simplificação de Frações

 Como simplificar uma fração

A simplificação é uma operação que não muda o valor da fração, mas altera o numerador e o denominador para que a fração seja escrita de uma maneira mais simples. Isso deve ser feito dividindo os termos da fração por um mesmo número inteiro maior que 1.

Quando não é mais possível utilizar o mesmo número para realizar essa operação, significa que a fração chegou à sua forma mais simples.

Vamos simplificar a fração 12/15 usando o método do cálculo do Maior Divisor Comum (MDC).

Como iremos fazer:

1º passo : Dividir o maior número pelo menor,até obter resto zero.

2º passo : Quando obtermos o resto zero,o divisor (número que está dentro da chave) será o MDC,justamente o número que usaremos para simplificar a fração.

Veja:


Então o número que usaremos para simplificar a fração 12/15 será o 3.
Veja:

Resposta :  

Observação : Pelo método de simplificar frações pelo MDC,a fração obtida sempre fica na forma irredutível,ou seja,não dá mais para simplificar.

1) Simplifique as frações abaixo:



2) Qual fração abaixo é equivalente a 3/4 ?


a) 216 / 288
b) 198 / 202
c) 183 / 216
d) 177 / 212









Adição e Subtração de Frações

Adição e Subtração de Frações

1º caso: Os denominadores são iguais

Para calcular a adição ou subtração entre duas ou mais frações com denominadores iguais, conservamos o denominador e adicionamos ou  subtraímos os numeradores.

Exemplos : 

Observação : Existe casos que devemos simplificar o resultado dos cálculos:
Veja:


Veja como simplificar uma fração na videoaula abaixo:

@ngmatematica

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES

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Exercício 1:
O valor de



corresponde a :

a) 2/3
b) 1/8
c) 2/8
d) 1/2

Exercício 2: Calcule e simplifique se for necessário o resultado obtido:







 Exercício 3: O professor de Matemática passou uma lista de exercícios para que os alunos da turma de Eletrotécnica respondessem, em duplas, e entregassem uma semana depois. Cleiton e Bruno decidiram separar algumas questões para que fizessem separados e depois juntariam as repostas para que ganhassem tempo na resolução. Três dias depois, Cleiton conseguiu responder a 12/60 das questões, enquanto Bruno conseguiu resolver 18/60 das questões. Se eles não fizeram questões em comum, a fração da lista de exercícios respondida pela dupla Cleiton e Bruno é:

a) 2/3
b) 1/2
c) 2/5
d) 1/5

Exercício 4:Sandra comprou duas pizzas pequenas, uma de calabresa e a outra de queijo. Da primeira ela comeu 2/4 e da segunda conseguiu comer 1/4 . Que fração representa a quantidade total de pizzas que Sandra comeu, considerando que as pizzas possuem o mesmo tamanho?

Exercício 5:Um copo de leite fornece start fraction, 3, divided by, 10, end fraction da quantidade de cálcio recomendada por dia.
3 copos de leite fornecem que fração da quantidade de cálcio recomendada por dia?
Exercício 6:A tabela mostra a quantidade de bolo que 3 amigos comeram.
{}Quantidade comida
Thaisstart fraction, 3, divided by, 10, end fraction
Charlesstart fraction, 5, divided by, 10, end fraction
Catarinastart fraction, 1, divided by, 10, end fraction
Qual a quantidade de bolo que os três comeram juntos?

2º casoOs denominadores são diferentes

Nesse caso vamos aprender usando um método prático que tem a multiplicação como operação principal para resolver adição de frações.
Acompanhe o exemplo abaixo:


Veja passo a passo o que foi feito:
  • Multiplicamos os denominadores entre si.
  • Multiplicamos em forma de X.
  • Somamos os 2 resultados obtidos (que estão dentro dos quadradinhos)
  • Verificamos se é possível simplificar o resultado.


No caso da subtração de frações,o procedimento é o mesmo:



O que muda é que devemos subtrair os resultados obtidos quando multiplicamos em forma de X(números que estão dentro dos quadradinhos).



Exercício 1- Calcule , simplifique se for necessário e coloque a letra correspondente no quadro de respostas:





























Quadro de respostas



Veja como fica o cálculo com mais de 2 frações:




















Exercício 2- Calcule , simplifique se for necessário e coloque a letra correspondente no quadro de respostas:






Quadro de respostas