Matemática - Professor Nivaldo Galvão

Máximo Divisor Comum(M.D.C)

CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS
Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).
Regra prática:
1º) dividimos o número maior pelo número menor;
48 / 30 = 1 (com resto 18)
2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;
30 / 18 = 1 (com resto 12)
18 / 12 = 1 (com resto 6)
12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)
3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo
divisor comum é 1.
Exemplos:
Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

• PROPRIEDADE DO M.D.C.
Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:
6 = 2 x 3
18 = 2 x 3 x 2
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6
Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então
ele é o m.d.c. dos números dados.


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A Divina proporção

Na natureza, a razão áurea parece orientar a posição das pétalas e sementes nas margaridas e girassóis, e a curvatura da concha do Náutilus. A divina proporção também foi encontrada na seqüência de Fibonacci.
Nas artes, retângulos áureos serviram de moldura para inúmeras obras, para artistas como Leonardo da Vinci e Albrecht Dührer. Para além da harmonia, a razão áurea era um ideal de perfeição.
Segundo o modelo do homem perfeito, impresso no Homem Vitruviano, de Da Vinci, as dimensões obedecem a divina proporção; o umbigo divide a altura do corpo humano em dois segmentos que estão na razão áurea.
O ombro divide a distância entre as extremidades dos dedos (braços abertos
perpendicularmente ao corpo) em dois segmentos que estão na mesma razão áurea.

Dízimas periódicas Simples e Composta


As dízimas periódicas são números decimais periódicos, ou seja, apresentam um ou mais algarismos que se repetem na mesma ordem infinitamente. O algarismo que se repete é chamado de período.
Os números decimais periódicos pertencem ao conjunto dos números racionais, pois podem ser escritos na forma de fração. 
Quando um número é decimal infinito, mas não apresenta algarismos que se repetem, ou seja, não possui um período, ele não será uma dízima periódica e sim um número irracional.
Existe dois tipos de dízimas periódicas, vamos conhecer a primeira:

Dízima periódica simples

Dízima periódica simples é quando analisamos a parte decimal (parte depois da vírgula) e observamos que antes do período não aparece nenhum número diferente dele. Veja os exemplos:

a)1,4444... ( analisando a parte decimal podemos notar que antes do período 4,não aparece nenhum número diferente dele).

b)3,7777... ( analisando a parte decimal podemos notar que antes do período 7,não aparece nenhum número diferente dele).

Dízima periódica composta

Dízima periódica composta é quando analisamos a parte decimal (parte depois da vírgula) e observamos que antes do período aparece um número que é diferente dele. Veja os exemplos:

a)4,27777... (analisando a parte decimal podemos notar que antes do período 7 aparece um número diferente, no caso o número 2).

b)0,25323232... (analisando a parte decimal podemos notar que antes do período 32 aparece um número diferente, no caso o número 25).

 

Representação das dízimas periódicas

As dízimas podem estar escritas na forma de fração geratriz ou na forma de número decimal. Quando estiver escrita na forma decimal, colocamos três pontinhos no final para indicar que os algarismos se repetem infinitamente. Podemos ainda representar esse tipo de número colocando um traço horizontal apenas em cima do seu período.
Exemplos:



COMO SABER SE UMA DÍZIMA PERIÓDICA É SIMPLES OU COMPOSTA 




Exercício : Classifique em Dízima Periódica Simples ou Dízima Periódica Composta
a) 2,7777.... ►
b) 5,24444.... ►
c) 9,22222.... ►
d) 25,128888...►
e) 8,525252... ►


FRAÇÃO GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA


É possível determinar a fração que deu origem a uma dízima periódica.
Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.
Assista a aula do Prof. Nivaldo Galvão e aprenda a encontrar a fração geratriz de um dízima periódica simples e composta.