Razão e Proporção

 Razão


Veja abaixo uma questão sobre razão:


Resolução:

  • número de cadeiras reservadas (17)
  • número total de cadeiras (70)
Logo a razão que representa o número de cadeiras reservadas para o número total de cadeiras é 17 / 70 (alternativa A)


Agora tente fazer as atividades abaixo:


1) (UERJ 2020) Admita que, em dezembro de 2014, uma filha tinha 20 anos e seu pai, 50.

Em dezembro de 2024, a razão entre as idades da filha e do pai será de:

A) 1/5

B) 1/2

C) 3/4

D) 4/3



2) Para o lançamento de uma nova marca de perfume, os empresários fizeram uma festa de inauguração da fábrica, convidando pessoas influentes na cidade e também fora dela. Das pessoas presentes, 90 vieram de outras cidades e 120 são da própria cidade. Então, a razão entre o total de convidados que vieram de outra cidade e o total de convidados é:

A) 3/4

B) 2/3

C) 3/7

D) 2/5

E) 1/2



3) Um dos critérios levados em consideração para se comprar um automóvel é o consumo de combustível, que é calculado pela razão entre a quantidade de quilômetros rodados e a quantidade de litros consumidos. Um comprador analisou o consumo de 5 veículos.

A → 28 quilômetros com 4 litros

B → 100 quilômetros com 14 litros

C → 60 quilômetros com 8 litros

D → 72 quilômetros com 9 litros

E → 84 quilômetros com 12 litros.

Sabendo que ele comprou o carro mais econômico, o escolhido foi?

A) A

B) B

C) C

D) D

E) E


4) Em uma sala de aula há 35 alunos, e 20 são meninas. A razão entre a quantidade de meninos e a quantidade de meninas é:

A) 4/7

B) 3/7

C) 1/2

D) 3/4

E) 4/3


5) Em um campeonato de futebol, a média de gols marcados por um time é muito importante para a análise do comportamento desse time e busca de melhorias no desempenho da equipe. Se um determinado clube marcou 12 vezes durante 20 jogos, podemos afirmar que a média de gols por partida é de:

A) 0,6 gol por partida.

B) 0,8 gol por partida.

C) 1 gol por partida.

D) 1,6 gol por partida.

E) 2 gols por partida.


6) Num exame,havia 180 candidatos,tendo sido aprovados 60,a razão entre o número de reprovados e o de aprovados é de:

a) 1/2

b) 2

c) 1/3

d) 3


7) Numa prova de Matemática,um aluno acertou 12 das 20 questões dadas.Qual é a razão do número de questões que ele acertou para o número de questões da prova?

a) 2/5

b) 3/5

c) 4/5

d) 2


8) Uma equipe de futebol apresenta o seguinte retrospecto no campeonato:

  • 30 vitórias
  • 18 empates
  • 12 derrotas
Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?

Proporção

Proporção é uma igualdade entre duas ou mais razões.
Caso a igualdade seja verdadeira, então os números serão proporcionais, caso contrário, então eles não serão proporcionais.

Os números racionais abc e d são proporcionais se, e somente se, a igualdade a seguir for verdadeira.

De maneira equivalente, podemos dizer que a igualdade será verdadeira somente quando a multiplicação cruzada for verdadeira.Veja:

b . c = a . d

Neste caso temos a propriedade fundamental das proporções:

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 

Como calcular proporções

Para verificar ou calcular se, de fato, os números são proporcionais, basta aplicar a primeira propriedade, caso a igualdade seja verdadeira, então os números são proporcionais. Veja os exemplos abaixo:

a)Verifique se os números 15, 30, 45 e 90 são proporcionais.

Devemos, nessa ordem, montar as razões e, em seguida, realizar a multiplicação cruzada.

Conclusão: Como deu uma igualdade,os números nesta ordem formam uma proporção.

b) Os números 2, 4, x e 32 são proporcionais. Determine o valor de x.

Como afirmamos que os números, na ordem que foram apresentados, são proporcionais, logo, podemos igualar as razões entre eles e aplicar a propriedade fundamental, veja:

Exercício 1) Verifique se os números abaixo na ordem que eles aparecem são proporcionais:

a) 3 , 4 , 6 e 8

b) 4 , 8 , 10 e 20

c ) 7 , 3 , 49 e 21

d) 4 , 6 , 20 e 30

e) 8 , 9 , 10 e 15

f) 12 , 15 , 10 e 13

Exercício 2) Os números abaixo na ordem que eles aparecem são proporcionais,determine o valor de x:

 a) 

 b) 

  c)  











Exercício 3) Uma criança de 1 m de altura projeta uma sombra de 0,5 m. No mesmo instante,um edifício de 18 m irá projetar uma sombra de :

a) 6 m

b) 8 m

c) 9 m

d) 12 m

Exercício 4) Uma fotografia tem 10 cm de largura e 15 cm de comprimento.Queremos ampliá-la de modo que seu comprimento tenha 18 cm.Então,na foto maior,a largura medirá:

a) 12 cm

b) 13 cm

c) 14 cm

d) 16 cm




Juros Simples

 Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo, hoje ele não faz mais parte do mercado financeiro, mas vamos entender como ele é calculado.

Fórmula matemática para o cálculo de Juros Simples

J = C . i . n

Onde : 

J : Juros simples

C : Capital (valor principal)

 i  : Taxa de Juros (sempre na forma unitária)

n  : número de período  de tempo

Duas considerações importantes nos cálculos:

•A taxa de juros deve estar sempre na forma unitária e em sintonia com o período de tempo. Se o período é mensal a taxa de juros deve ser ao mês (a.m).
•Se ambos não estiverem em sintonia devemos fazer as mudanças necessárias.

Taxas de Juros

Forma unitária: representa o juro de 1 unidade do capital, no período tomado
como unidade de tempo. São exemplos:
i = 0,08 am
i = 0,025 ad
Forma percentual: representa o juro de 100 unidades do capital, no período
tomado como unidade de tempo. São exemplos:
i = 4% am
i = 32% aa

• Leitura de períodos de tempo da taxa de juros.

ad   ►  ao dia
am  ►  ao mês
ab   ►  ao bimestre
at    ►  ao trimestre
aq   ao quadrimestre
as    ao semestre
aa    ao ano

1) Complete a tabela abaixo:


2) Escreva cada taxa abaixo na forma unitária:

a) 12% at = 
b) 30% as =
c) 22% aq =
d) 6,5%ad =
e) 0,06% ad =
f) 1,5% am =
g) 4,85% am =
h) 12,75% aa =
i) 5% ab =
j) 50,7% as =
k) 96% aa =

Taxas equivalentes em Juros Simples

Taxas equivalentes são taxas que tem valores iguais,para fazer corretamente as mudanças necessárias,devemos ficar atentos a alguns períodos comerciais.

  • 1 ano comercial tem 360 dias;
  •  1 ano tem 12 meses; 
  •  1 mês tem 30 dias.
Exemplos de como determinar taxas equivalentes em juros simples:

a) 36 % aa = ____am

Como 1 ano é igual a 12 meses,basta dividir 36:12= 3
Resposta : 36 % aa = 3 % am
Conclusão : Do período de tempo maior para o menor,devemos fazer uma divisão.

b) 4% am = ____as

Como 1 semestre é igual a 6 meses,basta multiplicar 4 . 6 = 24
Resposta : 4 % am = 24 % as
Conclusão : Do período de tempo menor para o maior,devemos fazer uma multiplicação.

Exercício 3 - Faça as conversões necessárias:

a) 60% aa = _____ am

b) 48% as = ______at

c) 0,075% ad =_____ am

d) 0,095% ad = _____aa

Como calcular Juros Simples

No primeiro momento do cálculo vamos relembrar a fórmula para calcular o Juros Simples:

J = C . i . n

Exemplo de aplicação:

Determinar o juro produzido por R$ 10 000, 00, aplicados a 2% a.m, durante 90 dias.

Dados :
J= ?
C= 10 000
i = 2% am
n = 90 dias 

Atenção: 
  • Note que o período da taxa ( i ) e do período de tempo ( n ) não estão em sintonia.Mais conveniente neste problema é transformar 90 dias em 3 meses.
  • E a taxa sempre deve estar na forma unitária.

Dados :
J= ?
C= 10 000
i = 2% am = 0,02 am
n = 90 dias = 3 meses

Agora podemos aplicar a fórmula:

J = C . i . n

                                 J = 10 000 . 0,02 . 3
                                 J = 600

Resposta:R$600,00

Exercícios:

1) Determinar o juro produzido por R$ 50000,00, quando aplicados a 2% am, em 8 meses.

a) R$6000,00

b) R$7000,00

c) R$8000,00

d) R$9000,00

2) Um capital aplicado a 1,5% ao mês rende em 2 anos, R$ 3600,00 de juro. Determinar esse capital.

Vídeo deste exercício

a) R$8000,00

b) R$9000,00

c) R$10000,00

d) R$12000,00

3) Achar a taxa percentual que se deve aplicar R$72000, 00, de modo que em 1 mês e 15 dias, renda R$ 2700, 00 de juro.

a) 1% am

b) 2,5% am

c) 3,5 % am

d) 4,5 % am

 4) Determinar o número de dias que devemos aplicar R$ 80000,00, a 0,1% ad, de modo que produza R$1600,00 de juro.

a) 10 dias

b) 20 dias

c) 30 dias

d) 40 dias

5) Calcule o juro produzido por R$ 20000,00, em 36 meses, a uma taxa de 12% ao ano.

a) R$7200,00

b) R$8200,00

c) R$9200,00

d) R$9500,00

6)Calcule o juro produzido por R$ 10 000, 00, em 3 meses, a 0, 02% ao dia.

a) R$72,00

b) R$89,00

c) R$180,00

d) R$200,00

7)Calcule o juro produzido por R$ 20 000, 00, em 3 anos, a 12% ao ano.

a) R$6200,00

b) R$7200,00

c) R$8200,00

d) R$9200,00

8)Calcule o juro produzido por R$ 5 000, 00, em 2 anos, a 2, 5% ao mês.

a) R$1200,00

b) R$3000,00

c) R$3200,00

d) R$3700,00

9)Calcule o juro produzido por R$ 47 000, 00, em 180 dias, a 25% ao ano.

a) R$5 200,00

b) R$5 300,00

c) R$5 875,00

d) R$6 700,00

10)Calcule o juro produzido por R$ 2 000, 00, em 4 meses, a 2% ao mês.

a) R$100,00

b) R$160,00

c) R$175,00

d) R$180,00

Porcentagem de Porcentagem

 

O quintal de uma casa corresponde a 30% da área do terreno e uma piscina será construída ocupando 60% deste quintal. Qual a porcentagem de área que a piscina ocupará em relação ao terreno?


Resposta : A área da piscina corresponde a 18% da área do terreno.

Calcule:

a) 40% de 50%=

b) 25% de 30%=

c) 12% de 40%=

d) 45% de 60%=

e) 10% de 55%=