Matemática - Professor Nivaldo Galvão

Ângulos externos de um Polígono Convexo

Em geometria, os ângulos externos de um polígono convexo são componentes fundamentais para a compreensão de suas propriedades e características. Formados pela extensão de um de seus lados em um vértice, eles possuem relações diretas com os ângulos internos e uma soma constante que independe do número de lados do polígono.

Definição e Propriedades

Um ângulo externo de um polígono convexo é o ângulo formado por um lado do polígono e o prolongamento do lado adjacente. Em cada vértice de um polígono, é possível traçar um ângulo externo.

Uma propriedade crucial que rege a relação entre os ângulos internos e externos é que, em um mesmo vértice, o ângulo interno e o seu correspondente ângulo externo são suplementares, ou seja, a soma de suas medidas é sempre igual a 180 graus.

A Soma dos Ângulos Externos

Uma das propriedades mais notáveis dos polígonos convexos é que a soma de todos os seus ângulos externos, um por vértice, é sempre constante e igual a 360 graus. Esta regra é válida para qualquer polígono convexo, seja ele um triângulo, um quadrilátero, um pentágono ou um polígono com um número arbitrário de lados.

A fórmula para a soma dos ângulos externos ( $S_{e}$ ) de um polígono convexo de n lados é:

S_{e} = 36 0º

Essa constância pode ser intuitivamente compreendida ao imaginar uma pessoa caminhando ao longo do perímetro do polígono. A cada vértice, ela gira um ângulo correspondente ao ângulo externo, e ao completar o percurso e retornar ao ponto de partida, terá realizado uma volta completa, ou seja, 360 graus.

Ângulos Externos de Polígonos Regulares

Para polígonos regulares, que possuem todos os lados e ângulos internos com a mesma medida, o cálculo de um único ângulo externo é simplificado. Como todos os ângulos externos também são congruentes, basta dividir a soma total (360°) pelo número de lados (e, consequentemente, de ângulos) do polígono, representado por n.

A fórmula para calcular a medida de um ângulo externo ( $a_{e}$ ) de um polígono regular é:

Exemplo:

Para calcular a medida de um ângulo externo de um hexágono regular (um polígono com 6 lados), aplicamos a fórmula:

Portanto, cada ângulo externo de um hexágono regular mede 60 graus . A partir disso, também podemos determinar a medida de seu ângulo interno, sabendo que são suplementares:

= 18 0º - 6 0^{º} = 12 0^{º}

Em resumo, o estudo dos ângulos externos oferece uma perspectiva valiosa sobre a geometria dos polígonos convexos, com a notável constância de sua soma e a simplicidade de seu cálculo em polígonos regulares, facilitando a resolução de diversos problemas geométricos.

Quadrilátero Deltoide

O quadrilátero deltoide, popularmente conhecido como "pipa", é uma figura geométrica plana que se destaca por suas propriedades únicas. Definido como um quadrilátero que possui dois pares de lados adjacentes e congruentes, o deltoide apresenta características distintas em relação aos seus lados, ângulos e diagonais.

Sua definição fundamental reside na congruência de lados vizinhos. Em um deltoide ABCD, por exemplo, os lados AB e AD teriam o mesmo comprimento, assim como os lados CB e CD. É importante ressaltar que os pares de lados congruentes são disjuntos, ou seja, não compartilham um mesmo lado.

Propriedades Notáveis do Deltoide

As características do deltoide o tornam um caso particular e interessante no estudo dos quadriláteros:

Lados: Possui dois pares de lados consecutivos com a mesma medida.
Ângulos: Um par de ângulos opostos são congruentes. Estes são os ângulos formados entre os lados de comprimentos diferentes.
Diagonais: As diagonais de um deltoide são perpendiculares entre si, ou seja, se cruzam formando um ângulo de 90 graus. Além disso, uma das diagonais atua como eixo de simetria da figura, dividindo o deltoide em dois triângulos congruentes.

Existem dois tipos de deltoides:

Convexo: Todos os seus ângulos internos são menores que 180°. Esta é a forma mais comum associada à "pipa".
Côncavo: Possui um ângulo interno maior que 180°.

Condição de Existência de Triângulos

A condição de existência de um triângulo é uma característica obrigatória nos comprimentos de seus três lados. Ela garante que a figura pode ser fechada, ou seja, que os lados se liguem por vértices.

Um triângulo é uma figura formada por três segmentos de reta, plana e, sobretudo, fechada. No entanto, nem todo trio de segmentos consegue fechar o triângulo.

Para três segmentos fecharem um triângulo, cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois.

Essa propriedade pode ser usada para verificar a existência de um triângulo de acordo com as medidas dos seus lados. Essa propriedade é conhecida como condição de existência de um triângulo.

Exercício 1) Verifique se é possível formar um triângulo com as medidas abaixo:

a) 10 cm , 8cm e 14 cm

b) 6cm, 4cm e 8cm

c) 5cm ,8 cm e 8cm

d) 5cm ,10cm e 9cm

Exercício 2) Verifique se três segmentos com 4 cm, 7 cm e 12 cm podem formar um triângulo.

Exercício 3) Verifique se é possível formar um triângulo com segmentos de 5 cm, 9 cm e 10 cm.

Exercício 4) Paulo pretende construir um triângulo utilizando varetas de madeiras cujos comprimentos

são 130cm, 92cm e 51cm. É possível construir tal triângulo?

Decomposição de um Número em Fatores Primos

A decomposição de um número em fatores primos, também conhecida como fatoração, é o processo de expressar um número composto como um produto de seus fatores primos.

Um número primo é um número natural maior que 1 que tem apenas dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo.

Passos para decompor um número em fatores primos:

Divida o número pelo menor número primo adequado,por isso devemos consultar os critérios de divisibilidade principalmente por 2, 3 e 5.
Continue dividindo o quociente pelo mesmo número primo enquanto for possível (ou seja, enquanto a divisão for exata).
Quando não for mais possível dividir pelo número primo atual, passe para o próximo número primo e repita o processo.
Continue até que o quociente seja 1.
Os divisores primos que você encontrou são os fatores primos do número original.

Exemplo: Decompor o número 60 em fatores primos.

60 | 2    (60 dividido por 2 é 30)

30 | 2    (30 dividido por 2 é 15)

15 | 3    (15 dividido por 3 é 5)

 5 | 5    (5 dividido por 5 é 1)

 1 |      (Chegamos a 1, a decomposição está completa)

Portanto, a decomposição de 60 em fatores primos é

2 \times 2 \times 3 \times 5

, ou

2² \times 3 \times 5

Vamos ver outro exemplo: Decompor o número 126 em fatores primos.

126 | 2   (126 dividido por 2 é 63)

 63 | 3   (63 dividido por 3 é 21)

 21 | 3   (21 dividido por 3 é 7)

  7 | 7   (7 dividido por 7 é 1)

1 |

Portanto, a decomposição de 126 em fatores primos é

2 \times 3 \times 3 \times 7

, ou

2 \times 3² \times 7

Por que a decomposição em fatores primos é útil?
A decomposição em fatores primos é uma ferramenta fundamental na matemática e é usada em diversas aplicações, incluindo:

Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC): Para encontrar o MMC de dois ou mais números.

Cálculo do Máximo Divisor Comum (MDC): Para encontrar o MDC de dois ou mais números.

Simplificação de frações: Para simplificar frações, dividindo o numerador e o denominador pelos fatores primos comuns.

Raízes quadradas e cúbicas: Para simplificar expressões com raízes.

A Matemática do número do Título Eleitoral

Apesar do título eleitoral ser um documento tão comum no Brasil, a maioria das pessoas não faz ideia de como o número é formado. Neste post, vamos desvendar essa questão e explicar a estrutura por trás dos 12 dígitos que compõem o seu título de eleitor.

A Estrutura do Número do Título Eleitoral

Para começar, é importante entender que o número do título eleitoral possui 12 dígitos. Contudo, esses dígitos não são gerados aleatoriamente. Na verdade, eles são compostos por informações específicas que identificam o eleitor e sua origem.

Os Primeiros Oito Dígitos: O Número Sequencial

Os primeiros oito dígitos do título eleitoral formam o número sequencial do eleitor. Esse número é único para cada pessoa dentro de uma determinada zona eleitoral. Ele é gerado no momento do alistamento eleitoral, quando o cidadão se cadastra pela primeira vez na Justiça Eleitoral. Conforme novos eleitores se alistam, esse número sequencial é incrementado.

Os Próximos dois Dígitos: O Código da Unidade da Federação

Os dois dígitos seguintes, representam o código da Unidade da Federação (UF) onde o eleitor se alistou. Cada estado brasileiro, além do Distrito Federal, possui um código específico atribuído pelo Tribunal Superior Eleitoral (TSE).

Aqui está a lista de códigos das Unidades da Federação:

01: São Paulo
02: Minas Gerais
03: Rio de Janeiro
04: Rio Grande do Sul
05: Bahia
06: Pernambuco
07: Paraná
08: Ceará
09: Santa Catarina
10: Goiás
11: Maranhão
12: Pará
13: Espírito Santo
14: Paraíba
15: Rio Grande do Norte
16: Alagoas
17: Mato Grosso
18: Mato Grosso do Sul
19: Piauí
20: Distrito Federal
21: Amapá
22: Amazonas
23: Rondônia
24: Roraima
25: Tocantins
26: Acre

É fundamental observar que, se o eleitor se transferir para outro estado, o número do título eleitoral não muda. A mudança de domicílio eleitoral afeta apenas a sua zona e seção de votação, mas não a estrutura do número do título em si.

Os Dois Últimos Dígitos: Os Dígitos Verificadores

Por fim, os dois últimos dígitos do título eleitoral são os dígitos verificadores. Eles servem para validar a autenticidade do número completo e evitar erros de digitação ou fraudes. A formação desses dígitos envolve um cálculo matemático complexo, que utiliza os 10 primeiros dígitos como base. Esse sistema de verificação é similar ao que é usado em outros documentos, como o CPF, por exemplo, garantindo a integridade do dado.

Em suma, o número do título eleitoral é muito mais do que uma sequência aleatória de números. Ele é um código bem estruturado que combina um identificador único para o eleitor, a UF de origem e um sistema de verificação para garantir a validade do documento. Dessa forma, a Justiça Eleitoral consegue manter um controle preciso e eficiente sobre o cadastro de milhões de eleitores em todo o país.

Você sabia que o número do seu título eleitoral era formado dessa maneira?

Divisores de um Número natural

Divisores de um número

Os divisores de um número natural são um conceito fundamental na matemática, com aplicações que se estendem desde a simples divisão até a criptografia avançada. Neste artigo, vamos explorar em profundidade o que são os divisores de um número natural, como encontrá-los e algumas de suas propriedades mais importantes.

O que são divisores?

Um divisor de um número natural é qualquer número natural que o divide exatamente, ou seja, sem deixar resto. Por exemplo, os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Isso significa que se dividirmos 12 por qualquer um desses números, o resultado será um número inteiro, sem resto.

Como encontrar os divisores de um número

Existem várias maneiras de encontrar os divisores de um número natural. Uma das mais simples é a divisão sucessiva. Começamos dividindo o número por 1 e, em seguida, por todos os números naturais maiores até o próprio número. Todos os números que resultarem em uma divisão exata são divisores do número original.

Exemplo: Quantos e quais são os divisores de 90?

Algumas propriedades importantes dos divisores

O número 1 é divisor de todos os números naturais: Isso significa que todo número natural pode ser dividido por 1 sem deixar resto.
Todo número natural é divisor de si mesmo: Isso significa que todo número natural pode ser dividido por si mesmo sem deixar resto.
O número de divisores de um número natural é finito: Isso significa que todo número natural tem um número limitado de divisores.

Adição de Números Naturais

Adição

O que é adição?

A adição é a operação que combina dois ou mais números para obter um total, chamado de soma. Os números que são somados são chamados de parcelas. O símbolo da adição é o "+".

Exemplo:

Se você tem 3 maçãs e ganha mais 2, você terá um total de 5 maçãs. Essa operação pode ser representada pela adição: 3 + 2 = 5.

Como realizar a adição:

A adição pode ser realizada de diversas maneiras:

Contagem: Para números pequenos, podemos contar os elementos de cada parcela e juntá-los.
Desenho: Podemos representar os números por desenhos e contá-los.
Algoritmo da adição: Para números maiores, utilizamos o algoritmo da adição, que consiste em somar os algarismos de cada ordem (unidades, dezenas, centenas, etc.) e reagrupar quando necessário.

Aplicações da adição:

A adição é utilizada em diversas situações do dia a dia, como por exemplos:

Calcular o total de compras no supermercado.
Somar os pontos em um jogo.
Calcular a distância total percorrida em uma viagem.
Calcular o numero total de alunos em uma escola.

EXERCÍCIOS:

1) Em 1500, o Brasil foi "descoberto" por Pedro Álvares Cabral. Se somarmos 322 anos, chegamos à data da Independência do Brasil. E se adicionarmos mais 189 anos, em que ano estaremos?

2) Um atleta correu 1.500 metros na segunda-feira, 2.300 metros na quarta-feira e 1.850 metros na sexta-feira. Quantos metros ele correu ao todo na semana?

3) Um artista plástico utilizou 1.250 peças de cerâmica azul, 980 peças de cerâmica verde e 1.520 peças de cerâmica amarela em um mosaico. Quantas peças de cerâmica ele usou no total?

4) Um livro tem 3 capítulos. O primeiro capítulo tem 45 páginas, o segundo tem 62 páginas e o terceiro tem 58 páginas. Quantas páginas o livro tem ao todo?

5) Uma loja vendeu 235 camisetas na segunda-feira, 187 camisetas na terça-feira e 312 camisetas na quarta-feira. Quantas camisetas foram vendidas nesses três dias?

As chances matemáticas de ganhar ou perder nas BETS

O Mundo das Bets: Uma Análise das Chances de Ganhar

As bets, ou apostas esportivas, têm se popularizado cada vez mais, atraindo tanto iniciantes quanto apostadores experientes. A emoção de prever o resultado de um jogo e a possibilidade de lucrar com isso são atrativos irresistíveis para muitos. No entanto, é fundamental compreender que as bets envolvem um alto grau de incerteza e que as chances de ganhar não são tão simples quanto parecem.

O que são as Bets?

As bets são, em essência, apostas em eventos esportivos. Os apostadores escolhem um resultado específico e fazem uma aposta financeira nesse resultado. Se a previsão estiver correta, o apostador recebe um pagamento, cujo valor depende da odd oferecida pela casa de apostas.

As Odds: A Chave para Entender as Chances

As odds são números que representam a probabilidade implícita de um evento ocorrer e o potencial retorno financeiro de uma aposta. Elas podem ser apresentadas em diferentes formatos: decimal, fracionária ou americana.

Odds decimais: O número indica o valor total que será pago caso a aposta seja vencedora, incluindo o valor apostado. Por exemplo, uma odd de 2.0 significa que você receberá o dobro do valor apostado em caso de vitória.
Odds fracionárias: Expressas em frações, indicam o lucro potencial em relação ao valor apostado. Por exemplo, uma odd de 3/1 significa que você ganhará três vezes o valor apostado.
Odds americanas: Utilizadas principalmente nos Estados Unidos, podem ser positivas ou negativas. Odds positivas indicam o lucro potencial por cada 100 unidades apostadas, enquanto odds negativas indicam o valor que precisa ser apostado para ganhar 100 unidades.

Fatores que Influenciam as Chances de Ganhar

As chances de ganhar em bets são influenciadas por diversos fatores, como:

Conhecimento sobre o esporte: Quanto mais você conhece sobre um determinado esporte, suas equipes, jogadores e estatísticas, maiores são suas chances de fazer previsões mais precisas.
Análise das odds: Comparar as odds oferecidas por diferentes casas de apostas pode revelar oportunidades de valor, ou seja, apostas em que a probabilidade implícita é maior do que a probabilidade real de o evento ocorrer.
Gerenciamento de banca: Uma gestão adequada da sua banca é essencial para garantir a longevidade nas bets. Estabelecer limites de apostas e não arriscar mais do que você pode perder são medidas importantes.
Fatores externos: Eventos imprevistos, como lesões de jogadores, mudanças climáticas ou problemas pessoais, podem afetar o desempenho das equipes e, consequentemente, o resultado das partidas.

A Ilusão da Facilidade

A facilidade com que as bets podem ser realizadas, aliada à promessa de ganhos rápidos, pode levar muitos apostadores a subestimar a complexidade envolvida. É importante lembrar que as casas de apostas são empresas que visam o lucro e ajustam as odds de forma a garantir sua margem de lucro a longo prazo.

Dicas para Apostar de Forma Responsável

Comece com pequenas apostas: Isso permite que você ganhe experiência sem arriscar grandes quantias de dinheiro.
Aposte em mercados que você conhece: Concentre-se em esportes e mercados que você acompanha de perto.
Não persiga perdas: Se você perder uma aposta, evite aumentar o valor da próxima aposta na tentativa de recuperar o dinheiro perdido.
Estabeleça um limite de perdas: Decida quanto você está disposto a perder e pare de apostar quando esse limite for atingido.
Procure informações confiáveis: Utilize fontes confiáveis para obter informações sobre as equipes, jogadores e estatísticas.
Considere as bets como uma forma de entretenimento: O objetivo principal das bets deve ser a diversão, e não a geração de renda.

Concurso de Sargento da Aeronáutica - Questão de Matemática

Concurso de Sargento da Aeronáutica

Sonha em fazer parte da Força Aérea Brasileira (FAB)?

Estudar na Aeronáutica é uma excelente opção para quem busca uma carreira desafiadora, com oportunidades de crescimento e a chance de contribuir para a defesa do nosso país.

Quais são os benefícios de estudar na Aeronáutica?

Formação completa: Além da área específica escolhida, você terá uma formação completa em diversas áreas, como liderança, trabalho em equipe e disciplina.
Oportunidades de crescimento: A FAB oferece diversas oportunidades de crescimento profissional, com a possibilidade de especialização em diversas áreas e de ascensão na carreira militar.
Benefícios: Os militares têm direito a diversos benefícios, como plano de saúde, assistência odontológica, moradia e alimentação.
Orgulho de servir ao país: Você terá a oportunidade de servir ao seu país e contribuir para a defesa da nossa pátria.

QUESTÃO DA PROVA DE SARGENTO DA AERONÁUTICA

Para saber mais sobre os concursos e imprimir as provas acesse:

https://empregoseconcursos.blog.br

Resumo da resolução de uma Equação do 2º grau

Para resolvermos uma equação do 2º grau do tipo ax² + bx + c = 0,pela resolução de Bhaskara, inicialmente devemos identificar os coeficientes a , b e c, depois calculamos o valor do discriminante(delta),ou seja,b² - 4.a.c e dependendo do valor do delta, podemos concluir que:

Exemplo: Veja como calculamos as raízes da equação abaixo utilizando as informações do quadro:

Agora é com você!

b) x² - 3x + 2 = 0

c) - d² + 8d - 16 = 0

d) y² - 5x + 10 = 0

Volume do Paralelepípedo

O paralelepípedo é um sólido geométrico que possui seis faces retangulares, e pode ser classificado em dois tipos principais: o paralelepípedo reto e o paralelepípedo oblíquo.

Paralelepípedo Reto: Também conhecido como retângulo retângulo, é um tipo de paralelepípedo em que as faces são retângulos e todas as arestas se encontram em ângulos retos (90 graus). Em outras palavras, os ângulos entre as faces são retos. Esse é o tipo mais comum de paralelepípedo e é frequentemente encontrado em situações cotidianas, como caixas e blocos.

Paralelepípedo Oblíquo: É um tipo de paralelepípedo onde as faces ainda são retângulos, mas as arestas não se encontram necessariamente em ângulos retos. Em um paralelepípedo oblíquo, as faces são inclinadas umas em relação às outras, e os ângulos entre as faces podem ser diferentes de 90 graus.

Paralelepípedo reto Paralelepípedo oblíquo

Como calcular o volume de um paralelepípedo

Para calcular o volume do paralelepípedo,basta multiplicar o comprimento com a largura e a altura do paralelepípedo.

Assim:

Volume do paralelepípedo = a . b . c

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Testes envolvendo cálculo com frações