Matemática - Professor Nivaldo Galvão

Como reduzir termos semelhantes de uma Expressão Algébrica

Como Reduzir Termos Semelhantes de uma Expressão Algébrica

Simplificar uma expressão algébrica pode parecer uma tarefa complexa à primeira vista, mas um dos conceitos fundamentais que torna esse processo mais fácil é a redução de termos semelhantes. Dominar essa técnica é essencial para resolver equações, inequações e para uma compreensão mais profunda da matemática. Neste post, vamos desvendar o que são termos semelhantes e apresentar um guia passo a passo de como reduzi-los.

O que são Termos Semelhantes?

Em uma expressão algébrica, termos semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal, ou seja, as mesmas variáveis elevadas aos mesmos expoentes. Os coeficientes numéricos (os números que acompanham as letras) podem ser diferentes.

Exemplos:

São semelhantes: 3x e -5x (a parte literal é x)
São semelhantes: 7y² e 2y² (a parte literal é y²)
Não são semelhantes: 4a e 4b (as variáveis são diferentes)
Não são semelhantes: 2x e 2x² (os expoentes da variável x são diferentes)

Passo a Passo para Reduzir Termos Semelhantes

A redução de termos semelhantes consiste em agrupar e combinar esses termos para simplificar a expressão. O processo pode ser dividido em três etapas simples:

1. Identifique os Termos Semelhantes:

O primeiro passo é analisar a expressão e identificar todos os termos que possuem a mesma parte literal. Uma boa dica é usar cores ou sublinhados diferentes para agrupar visualmente os termos semelhantes.

Exemplo: Na expressão 5a + 2b - 3a + 7b, os termos semelhantes são:

5a e -3a
2b e 7b

2. Agrupe os Termos Semelhantes:

Reorganize a expressão de forma que os termos semelhantes fiquem juntos. Lembre-se de manter o sinal (positivo ou negativo) que acompanha cada termo.

Exemplo: 5a - 3a + 2b + 7b

3. Combine os Coeficientes:

Agora, some ou subtraia os coeficientes dos termos semelhantes. A parte literal permanece a mesma.

Exemplo:

Para os termos com a: (5 - 3)a = 2a
Para os termos com b: (2 + 7)b = 9b

Expressão Simplificada: A expressão 5a + 2b - 3a + 7b reduzida fica 2a + 9b.

Vamos Praticar com Mais Exemplos

Exemplo 1: Reduza a expressão 4x² + 7x - 2x² + 3x - 5

Identifique:
- Termos com x²: 4x² e -2x²
- Termos com x: 7x e 3x
- Termo independente: -5
Agrupe: 4x² - 2x² + 7x + 3x - 5
Combine:
- (4 - 2)x² = 2x²
- (7 + 3)x = 10x
- O -5 permanece o mesmo, pois não tem outro termo semelhante para ser combinado.

Resultado: 2x² + 10x - 5

Exemplo 2: Reduza a expressão 6xy - 2y + 4xy + 5y - 3

Identifique:
- Termos com xy: 6xy e 4xy
- Termos com y: -2y e 5y
- Termo independente: -3
Agrupe: 6xy + 4xy - 2y + 5y - 3
Combine:
- (6 + 4)xy = 10xy
- (-2 + 5)y = 3y
- O -3 permanece o mesmo.

Resultado: 10xy + 3y - 3

Erros Comuns a Evitar

Combinar termos que não são semelhantes: Lembre-se sempre de que a parte literal (variáveis e expoentes) deve ser idêntica. 3x e 3x² não podem ser combinados.
Erros com sinais: Tenha atenção aos sinais de positivo e negativo ao agrupar e combinar os coeficientes.

Expressões Algébricas-PARTE I

Resultado Final

Atividades Complementares

Expressões Algébricas-PARTE II

Simplifique as expressões algébricas e marque a alternativa correta.

Ângulos externos de um Polígono Convexo

Em geometria, os ângulos externos de um polígono convexo são componentes fundamentais para a compreensão de suas propriedades e características. Formados pela extensão de um de seus lados em um vértice, eles possuem relações diretas com os ângulos internos e uma soma constante que independe do número de lados do polígono.

Definição e Propriedades

Um ângulo externo de um polígono convexo é o ângulo formado por um lado do polígono e o prolongamento do lado adjacente. Em cada vértice de um polígono, é possível traçar um ângulo externo.

Uma propriedade crucial que rege a relação entre os ângulos internos e externos é que, em um mesmo vértice, o ângulo interno e o seu correspondente ângulo externo são suplementares, ou seja, a soma de suas medidas é sempre igual a 180 graus.

A Soma dos Ângulos Externos

Uma das propriedades mais notáveis dos polígonos convexos é que a soma de todos os seus ângulos externos, um por vértice, é sempre constante e igual a 360 graus. Esta regra é válida para qualquer polígono convexo, seja ele um triângulo, um quadrilátero, um pentágono ou um polígono com um número arbitrário de lados.

A fórmula para a soma dos ângulos externos ( $S_{e}$ ) de um polígono convexo de n lados é:

S_{e} = 36 0º

Essa constância pode ser intuitivamente compreendida ao imaginar uma pessoa caminhando ao longo do perímetro do polígono. A cada vértice, ela gira um ângulo correspondente ao ângulo externo, e ao completar o percurso e retornar ao ponto de partida, terá realizado uma volta completa, ou seja, 360 graus.

Ângulos Externos de Polígonos Regulares

Para polígonos regulares, que possuem todos os lados e ângulos internos com a mesma medida, o cálculo de um único ângulo externo é simplificado. Como todos os ângulos externos também são congruentes, basta dividir a soma total (360°) pelo número de lados (e, consequentemente, de ângulos) do polígono, representado por n.

A fórmula para calcular a medida de um ângulo externo ( $a_{e}$ ) de um polígono regular é:

Exemplo:

Para calcular a medida de um ângulo externo de um hexágono regular (um polígono com 6 lados), aplicamos a fórmula:

Portanto, cada ângulo externo de um hexágono regular mede 60 graus . A partir disso, também podemos determinar a medida de seu ângulo interno, sabendo que são suplementares:

= 18 0º - 6 0^{º} = 12 0^{º}

Em resumo, o estudo dos ângulos externos oferece uma perspectiva valiosa sobre a geometria dos polígonos convexos, com a notável constância de sua soma e a simplicidade de seu cálculo em polígonos regulares, facilitando a resolução de diversos problemas geométricos.

Quadrilátero Deltoide

O quadrilátero deltoide, popularmente conhecido como "pipa", é uma figura geométrica plana que se destaca por suas propriedades únicas. Definido como um quadrilátero que possui dois pares de lados adjacentes e congruentes, o deltoide apresenta características distintas em relação aos seus lados, ângulos e diagonais.

Sua definição fundamental reside na congruência de lados vizinhos. Em um deltoide ABCD, por exemplo, os lados AB e AD teriam o mesmo comprimento, assim como os lados CB e CD. É importante ressaltar que os pares de lados congruentes são disjuntos, ou seja, não compartilham um mesmo lado.

Propriedades Notáveis do Deltoide

As características do deltoide o tornam um caso particular e interessante no estudo dos quadriláteros:

Lados: Possui dois pares de lados consecutivos com a mesma medida.
Ângulos: Um par de ângulos opostos são congruentes. Estes são os ângulos formados entre os lados de comprimentos diferentes.
Diagonais: As diagonais de um deltoide são perpendiculares entre si, ou seja, se cruzam formando um ângulo de 90 graus. Além disso, uma das diagonais atua como eixo de simetria da figura, dividindo o deltoide em dois triângulos congruentes.

Existem dois tipos de deltoides:

Convexo: Todos os seus ângulos internos são menores que 180°. Esta é a forma mais comum associada à "pipa".
Côncavo: Possui um ângulo interno maior que 180°.

Condição de Existência de Triângulos

A condição de existência de um triângulo é uma característica obrigatória nos comprimentos de seus três lados. Ela garante que a figura pode ser fechada, ou seja, que os lados se liguem por vértices.

Um triângulo é uma figura formada por três segmentos de reta, plana e, sobretudo, fechada. No entanto, nem todo trio de segmentos consegue fechar o triângulo.

Para três segmentos fecharem um triângulo, cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois.

Essa propriedade pode ser usada para verificar a existência de um triângulo de acordo com as medidas dos seus lados. Essa propriedade é conhecida como condição de existência de um triângulo.

Exercício 1) Verifique se é possível formar um triângulo com as medidas abaixo:

a) 10 cm , 8cm e 14 cm

b) 6cm, 4cm e 8cm

c) 5cm ,8 cm e 8cm

d) 5cm ,10cm e 9cm

Exercício 2) Verifique se três segmentos com 4 cm, 7 cm e 12 cm podem formar um triângulo.

Exercício 3) Verifique se é possível formar um triângulo com segmentos de 5 cm, 9 cm e 10 cm.

Exercício 4) Paulo pretende construir um triângulo utilizando varetas de madeiras cujos comprimentos

são 130cm, 92cm e 51cm. É possível construir tal triângulo?

Decomposição de um Número em Fatores Primos

A decomposição de um número em fatores primos, também conhecida como fatoração, é o processo de expressar um número composto como um produto de seus fatores primos.

Um número primo é um número natural maior que 1 que tem apenas dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo.

Passos para decompor um número em fatores primos:

Divida o número pelo menor número primo adequado,por isso devemos consultar os critérios de divisibilidade principalmente por 2, 3 e 5.
Continue dividindo o quociente pelo mesmo número primo enquanto for possível (ou seja, enquanto a divisão for exata).
Quando não for mais possível dividir pelo número primo atual, passe para o próximo número primo e repita o processo.
Continue até que o quociente seja 1.
Os divisores primos que você encontrou são os fatores primos do número original.

Exemplo: Decompor o número 60 em fatores primos.

60 | 2    (60 dividido por 2 é 30)

30 | 2    (30 dividido por 2 é 15)

15 | 3    (15 dividido por 3 é 5)

 5 | 5    (5 dividido por 5 é 1)

 1 |      (Chegamos a 1, a decomposição está completa)

Portanto, a decomposição de 60 em fatores primos é

2 \times 2 \times 3 \times 5

, ou

2² \times 3 \times 5

Vamos ver outro exemplo: Decompor o número 126 em fatores primos.

126 | 2   (126 dividido por 2 é 63)

 63 | 3   (63 dividido por 3 é 21)

 21 | 3   (21 dividido por 3 é 7)

  7 | 7   (7 dividido por 7 é 1)

1 |

Portanto, a decomposição de 126 em fatores primos é

2 \times 3 \times 3 \times 7

, ou

2 \times 3² \times 7

Por que a decomposição em fatores primos é útil?
A decomposição em fatores primos é uma ferramenta fundamental na matemática e é usada em diversas aplicações, incluindo:

Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC): Para encontrar o MMC de dois ou mais números.

Cálculo do Máximo Divisor Comum (MDC): Para encontrar o MDC de dois ou mais números.

Simplificação de frações: Para simplificar frações, dividindo o numerador e o denominador pelos fatores primos comuns.

Raízes quadradas e cúbicas: Para simplificar expressões com raízes.

A Matemática do número do Título Eleitoral

Apesar do título eleitoral ser um documento tão comum no Brasil, a maioria das pessoas não faz ideia de como o número é formado. Neste post, vamos desvendar essa questão e explicar a estrutura por trás dos 12 dígitos que compõem o seu título de eleitor.

A Estrutura do Número do Título Eleitoral

Para começar, é importante entender que o número do título eleitoral possui 12 dígitos. Contudo, esses dígitos não são gerados aleatoriamente. Na verdade, eles são compostos por informações específicas que identificam o eleitor e sua origem.

Os Primeiros Oito Dígitos: O Número Sequencial

Os primeiros oito dígitos do título eleitoral formam o número sequencial do eleitor. Esse número é único para cada pessoa dentro de uma determinada zona eleitoral. Ele é gerado no momento do alistamento eleitoral, quando o cidadão se cadastra pela primeira vez na Justiça Eleitoral. Conforme novos eleitores se alistam, esse número sequencial é incrementado.

Os Próximos dois Dígitos: O Código da Unidade da Federação

Os dois dígitos seguintes, representam o código da Unidade da Federação (UF) onde o eleitor se alistou. Cada estado brasileiro, além do Distrito Federal, possui um código específico atribuído pelo Tribunal Superior Eleitoral (TSE).

Aqui está a lista de códigos das Unidades da Federação:

01: São Paulo
02: Minas Gerais
03: Rio de Janeiro
04: Rio Grande do Sul
05: Bahia
06: Pernambuco
07: Paraná
08: Ceará
09: Santa Catarina
10: Goiás
11: Maranhão
12: Pará
13: Espírito Santo
14: Paraíba
15: Rio Grande do Norte
16: Alagoas
17: Mato Grosso
18: Mato Grosso do Sul
19: Piauí
20: Distrito Federal
21: Amapá
22: Amazonas
23: Rondônia
24: Roraima
25: Tocantins
26: Acre

É fundamental observar que, se o eleitor se transferir para outro estado, o número do título eleitoral não muda. A mudança de domicílio eleitoral afeta apenas a sua zona e seção de votação, mas não a estrutura do número do título em si.

Os Dois Últimos Dígitos: Os Dígitos Verificadores

Por fim, os dois últimos dígitos do título eleitoral são os dígitos verificadores. Eles servem para validar a autenticidade do número completo e evitar erros de digitação ou fraudes. A formação desses dígitos envolve um cálculo matemático complexo, que utiliza os 10 primeiros dígitos como base. Esse sistema de verificação é similar ao que é usado em outros documentos, como o CPF, por exemplo, garantindo a integridade do dado.

Em suma, o número do título eleitoral é muito mais do que uma sequência aleatória de números. Ele é um código bem estruturado que combina um identificador único para o eleitor, a UF de origem e um sistema de verificação para garantir a validade do documento. Dessa forma, a Justiça Eleitoral consegue manter um controle preciso e eficiente sobre o cadastro de milhões de eleitores em todo o país.

Você sabia que o número do seu título eleitoral era formado dessa maneira?

Divisores de um Número natural

Divisores de um número

Os divisores de um número natural são um conceito fundamental na matemática, com aplicações que se estendem desde a simples divisão até a criptografia avançada. Neste artigo, vamos explorar em profundidade o que são os divisores de um número natural, como encontrá-los e algumas de suas propriedades mais importantes.

O que são divisores?

Um divisor de um número natural é qualquer número natural que o divide exatamente, ou seja, sem deixar resto. Por exemplo, os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Isso significa que se dividirmos 12 por qualquer um desses números, o resultado será um número inteiro, sem resto.

Como encontrar os divisores de um número

Existem várias maneiras de encontrar os divisores de um número natural. Uma das mais simples é a divisão sucessiva. Começamos dividindo o número por 1 e, em seguida, por todos os números naturais maiores até o próprio número. Todos os números que resultarem em uma divisão exata são divisores do número original.

Exemplo: Quantos e quais são os divisores de 90?

Algumas propriedades importantes dos divisores

O número 1 é divisor de todos os números naturais: Isso significa que todo número natural pode ser dividido por 1 sem deixar resto.
Todo número natural é divisor de si mesmo: Isso significa que todo número natural pode ser dividido por si mesmo sem deixar resto.
O número de divisores de um número natural é finito: Isso significa que todo número natural tem um número limitado de divisores.

Páginas